2021哈佛麻省数学竞赛冬季赛综合赛 中文翻译

2022-07-28 13:14:16来源：未知作者： 飞飞阅读量：

1.平行四边形中, 分别为中点. 过作直线与线段 分别交于点.若,求的长.

2.黑板上原本写有一个方程组, 其中每个方程都是 或 的形式. 某人来到黑板钱, 擦掉了所有的加号和乘号, 得到了如下的式子:
若为原方程组的整数解, 求 .

3.正整数满足,的前个倍数的和为, 的前个倍数的和为. 求的前个倍数的和.

4.若十位数为的倍数, 且它的各位数字是非增加的,(即对任意 , 均有), 就称这个十位数是"好的". 求"好的"十位数的个数.

5.将个国际象棋的马放置在的棋盘中, 使得他们中的任意两个棋子互相都不能攻击, 有多少种方法?
注: 若两个马的距离恰为, 则它们可以互相攻击.

6.对坐标平面内的两点 和, 定义他们的出租车距离为. 现在有一个正八边形, 其中一条边的两个端点为 和 . 定义为所有"到正八边形的某个顶点的出租车距离不超过 的点"组成的集合. 若的面积可以表示为, 其中为互质的正整数, 求.

7.已知为方程的三个根. 若
可以表示为 , 其中为互质的正整数, 求.

8.甲乙两人在白板上玩一个游戏. 由甲先开始, 两人轮流进行如下操作:
在甲的回合, 他在黑板上任选两个数, 将他们替换为他们的乘积;
在乙的回合, 他在黑板上任选两个数, 将他们替换为他们的和;
当黑板上只剩一个数时,游戏结束, 若这个数为奇数, 甲获胜, 否则乙获胜.
初始时, 黑板上有个整数, 每个都是从集合 中随机抽取的. 若甲乙两人都采用最理想的策略进行游戏, 则甲获胜的概率可以表示为 , 其中为互质的正整数, 求被除的余数.

9.设为满足如下条件的最小正整数:
整除
求被除的余数.

10.单位立方体中的三个面 过同一个顶点. 设 在给定平面上的投影面积分别为. 若 ,   可以表示为 , 其中为互质的正整数, 求.

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