AMC数学竞赛数论题例题解答

2022-07-28 13:38:40来源：未知作者： 飞飞阅读量：

AMC不同于其他的数学比赛，它的体系环环相扣，颇有打怪升级的感觉。

对于中国学生来说，AMC 8/10/12，包括之后的AIME都是可以参加的，但再往上的USAMO则是为了选拔美国奥数国家队队员设立的，相当于我们国内的“国家集训队”，只有美国公民或美国/加拿大的合法居民可以参加。

而对于名校申请，特别是MIT、斯坦福、普林斯顿，光从AMC晋级AIME还不够，如果AIME成绩要达到晋级USAMO的成绩，则更有优势，因为每年晋级USAMO的学生人数不超过300人，是当年全美乃至全北美洲数学最强的学生，极其受到藤校的青睐。

随着参赛人数逐年增加，想在AMC中胜出越来越难，我们也为大家准备了AMC四大题型及解题秘笈。

AMC四大题型及解题秘笈

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题型三：数论题

数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质，被誉为“最纯”的数学领域。卡尔·弗里德里希·高斯曾说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”我觉得数论真的很像我一位学生说的，“为了思考问题而设立的问题”。研究数论的数学家确实是纯粹觉得数字本身很有趣（但这有何不能理解呢？就像生物学家也会觉得细菌很有趣），从而创立了很多数论的定理：

• 费马小定理

• 费马大定理

• 威尔逊定理

• 欧拉定理

• 孙子定理（中国余数定理）

数论在中国数学大纲里面没有系统的讲解，是我们学生最不熟悉的一个领域。以上定理用数学公式写出来都很抽象不容易理解。例如，指数循环节，也就是欧拉定理的一种推广，写出来是这个样子的：

AMC到底该如何备考？附四大题型及解题秘笈！

但是，我们只要知道所谓“数论”，就是讨论整数的规律。这些定理，其实就是前人总结出来的规律的通式。我们即使记不住，也推不出通式，还是可以在特例下面把规律去推理出来的。

2018年AMC10的B卷，这个出现在16题的位置还是挺难的。

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解题思路：这个题的正规解题方法要用到费马小定理和中国余数定理，如果能掌握这些当然很高超。但是即使不会这两个定理，也可以用几次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，可以分别推出：

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从而把这个题解出来。

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